त्रिभुज में एक रेखा कैसे खोजें. त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें? बुनियादी गुण, परिभाषाएँ और विधियाँ

1 अतिरिक्त निर्माण जो त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय, समलम्बाकार और त्रिभुजों की समानता गुणों की ओर ले जाता है।

और वह आधे कर्ण के बराबर.
परिणाम 1.
परिणाम 2.

इससे यह स्पष्ट है कि

1 समान न्यूनकोण वाले सभी समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों पर एक नजर.

रची हुई और बिना रची हुई भुजाओं वाले त्रिभुज समान होते हैं क्योंकि उनके दोनों कोण बराबर होते हैं। इसलिए कहां

इसका मतलब यह है कि संकेतित संबंध केवल समकोण त्रिभुज के न्यून कोण पर निर्भर करते हैं और अनिवार्य रूप से इसे निर्धारित करते हैं। यह त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति के कारणों में से एक है:

अक्सर समान समकोण त्रिभुजों में कोणों के त्रिकोणमितीय फलन लिखना समरूपता संबंध लिखने की तुलना में अधिक स्पष्ट होता है!

आइए हम ऊँचाई CH को कर्ण AB से कम करें। हमारे पास तीन समरूप त्रिभुज ABC, AHC और CHB हैं। आइए त्रिकोणमितीय फलनों के लिए व्यंजक लिखें:

इससे यह स्पष्ट है कि . जोड़ने पर, हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है, क्योंकि:

पाइथागोरस प्रमेय के एक अन्य प्रमाण के लिए, समस्या 4 की टिप्पणी देखें।
3 अतिरिक्त निर्माण का एक महत्वपूर्ण उदाहरण त्रिभुज के किसी एक कोण के बराबर कोण का निर्माण है।

समकोण के शीर्ष से हम एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं जो दिए गए समकोण त्रिभुज ABC के कोण CAB के बराबर पाद CA के साथ एक कोण बनाता है। परिणामस्वरूप, हमें आधार कोणों वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज ACM प्राप्त होता है। लेकिन इस निर्माण से उत्पन्न होने वाला दूसरा त्रिभुज भी समद्विबाहु होगा, क्योंकि आधार पर इसका प्रत्येक कोण बराबर है (एक समकोण त्रिभुज के कोणों की संपत्ति और निर्माण द्वारा - कोण को समकोण से "घटाया" गया था)। इस तथ्य के कारण कि त्रिभुज बीएमसी और एएमसी उभयनिष्ठ भुजा एमसी के साथ समद्विबाहु हैं, हमारे पास समानता एमबी=एमए=एमसी है, यानी। एम.सी. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींची गई माध्यिका, और वह आधे कर्ण के बराबर.
परिणाम 1.कर्ण का मध्यबिंदु इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र है, क्योंकि इससे पता चलता है कि कर्ण का मध्यबिंदु समकोण त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर है।
परिणाम 2.एक समकोण त्रिभुज की मध्य रेखा, कर्ण के मध्य और पैर के मध्य को जोड़ती है, विपरीत पैर के समानांतर होती है और उसके आधे के बराबर होती है।

समद्विबाहु त्रिभुज बीएमसी और एएमसी में, आइए हम एमएच और एमजी की ऊंचाई को आधार से कम करें। चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार से नीचे की ऊँचाई भी माध्यिका (और समद्विभाजक) होती है, तो MH और MG एक समकोण त्रिभुज की रेखाएँ हैं जो कर्ण के मध्य को पैरों के मध्य बिंदुओं से जोड़ती हैं। निर्माण से, वे विपरीत पैरों के समानांतर और उनके आधे के बराबर हो जाते हैं, क्योंकि त्रिकोण बराबर हैं एमएचसी और एमजीसी बराबर हैं (और एमएचसीजी एक आयत है)। यह परिणाम एक मनमाना त्रिभुज की मध्य रेखा पर प्रमेय के प्रमाण का आधार है और, आगे, एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा और उन्हें प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं पर समानांतर रेखाओं द्वारा काटे गए खंडों की आनुपातिकता की संपत्ति है।

कार्य
समानता गुणों का उपयोग -1
मूल गुणों का उपयोग - 2
अतिरिक्त गठन का उपयोग 3-4

1 2 3 4

एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से गिराई गई ऊंचाई उन खंडों की लंबाई के वर्गमूल के बराबर होती है जिनमें यह कर्ण को विभाजित करता है।

यदि आप त्रिभुजों की समानता से पाइथागोरस प्रमेय की व्युत्पत्ति जानते हैं तो समाधान स्पष्ट प्रतीत होता है:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
जहां से \(h^2=c_1c_2\).

उन सभी संभावित समकोण त्रिभुजों की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु (GMT) का स्थान ज्ञात कीजिए जिनका कर्ण AB निश्चित है।

किसी भी त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु, संगत भुजा के साथ उसके प्रतिच्छेदन बिंदु से गिनती करते हुए, माध्यिका से एक तिहाई काट देता है। एक समकोण त्रिभुज में, समकोण से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है। इसलिए, वांछित GMT कर्ण की लंबाई के 1/6 के बराबर त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसमें इस (निश्चित) कर्ण के मध्य में एक केंद्र होता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा. नमस्कार दोस्तों! आज सैद्धांतिक सामग्री है, वह त्रिभुज से जुड़ी है। परीक्षा में कार्यों का एक समूह होता है जो इसकी मध्य रेखा की संपत्ति का उपयोग करता है। और न केवल त्रिभुजों की समस्याओं में, बल्कि समलम्ब चतुर्भुजों की समस्याओं में भी। एक ऐसा था जिसमें मैंने केवल इन तथ्यों को याद रखने का सुझाव दिया था, अब और अधिक विस्तार से...

त्रिभुज की मध्य रेखा क्या है और इसके गुण क्या हैं?

परिभाषा।त्रिभुज की मध्य रेखा त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

स्पष्ट है कि त्रिभुज में तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। आइए उन्हें दिखाएं:

बिना किसी प्रमाण के, आपने शायद पहले ही देख लिया होगा कि बनने वाले सभी चार त्रिभुज बराबर हैं। यह सच है, लेकिन हम इस बारे में बाद में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

प्रमेय. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली मध्य रेखा तीसरी भुजा के समानांतर और उसके आधे के बराबर होती है।

सबूत:

1. आइए त्रिभुज BMN और BAC को देखें। शर्त के अनुसार, हमारे पास BM=MA, BN=NC है। हम लिख सकते हैं:

इसलिए, त्रिभुज दो आनुपातिक भुजाओं और उनके बीच के कोण (समानता का दूसरा चिह्न) में समान होते हैं। इससे क्या निष्कर्ष निकलता है? लेकिन तथ्य यह है कि:

रेखाओं की समानता के आधार पर MN||AC.

2. त्रिभुजों की समानता से भी यह निष्कर्ष निकलता है

यानी एमएन दो गुना छोटा है। सिद्ध किया हुआ!

आइए एक सामान्य समस्या का समाधान करें।

त्रिभुज ABC में, बिंदु M, N, K भुजाओं AB, BC, AC के मध्यबिंदु हैं। यदि MN=12, MK=10, KN=8 है तो त्रिभुज ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान। बेशक, सबसे पहले आपको त्रिभुज एमएनके (और इसलिए त्रिभुज एबीसी के अस्तित्व) के अस्तित्व की जांच करनी चाहिए। दो छोटी भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए, 10+8>12 लिखें। पूरी होगी, इसलिए त्रिकोण मौजूद है।

आइए एक स्केच बनाएं:

इस प्रकार, त्रिभुज ABC का परिमाप 24+20+16=60 है।

*अब तीनों मध्य रेखाओं के निर्माण से प्राप्त त्रिभुजों के बारे में अधिक जानकारी। उनकी समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है। देखना:

वे तीन तरफ से बराबर हैं। बेशक, अन्य संकेत भी यहां लागू होते हैं। हमें वह मिल गया

परीक्षा में शामिल कार्यों में इस संपत्ति का उपयोग कैसे किया जाता है? मैं विशेष रूप से स्टीरियोमेट्री की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित करना चाहूंगा। ऐसे प्रकार हैं जिनमें हम त्रिकोणीय प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण के लिए, ऐसा कहा जाता है कि विमान आधार के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है और यह आधार के तीसरे किनारे के समानांतर होता है। प्रिज्म के सतह क्षेत्र, उसके आयतन और अन्य में परिवर्तन के बारे में प्रश्न उठाए जाते हैं।

तो यह यहाँ है. ऊपर प्रस्तुत जानकारी को जानने और समझने से, आप तुरंत यह निर्धारित कर लेंगे कि यह विमान निर्दिष्ट प्रिज्म के आधार से एक चौथाई भाग काट देता है और समस्या को मौखिक रूप से हल कर देगा। ऐसे कार्यों के साथ.

बस इतना ही! शुभकामनाएं!

लेख सामग्री डाउनलोड करें

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

कभी-कभी स्कूल में समझाए गए विषय पहली बार में हमेशा स्पष्ट नहीं हो पाते हैं। यह गणित जैसे विषय के लिए विशेष रूप से सच है। लेकिन सब कुछ तब और अधिक जटिल हो जाता है जब यह विज्ञान दो भागों में विभाजित होने लगता है: बीजगणित और ज्यामिति।

प्रत्येक छात्र के पास दो क्षेत्रों में से एक में क्षमता हो सकती है, लेकिन विशेष रूप से प्रारंभिक कक्षाओं में बीजगणित और ज्यामिति दोनों के आधार को समझना महत्वपूर्ण है। ज्यामिति में, मुख्य विषयों में से एक त्रिकोण पर अनुभाग माना जाता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें? आइए इसका पता लगाएं।

बुनियादी अवधारणाओं

आरंभ करने के लिए, यह पता लगाने के लिए कि त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे खोजें, यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है।

मध्य रेखा खींचने पर कोई प्रतिबंध नहीं है: त्रिभुज कुछ भी हो सकता है (समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार)। और मध्य रेखा से संबंधित सभी गुण प्रभावी होंगे।

किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है। इसलिए, किसी भी त्रिभुज में ऐसी 3 रेखाएँ हो सकती हैं।

गुण

यह जानने के लिए कि किसी त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात की जाए, आइए इसके गुणों को निर्दिष्ट करें जिन्हें याद रखने की आवश्यकता है, अन्यथा उनके बिना मध्य रेखा की लंबाई को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता के साथ समस्याओं को हल करना असंभव होगा, क्योंकि प्राप्त सभी डेटा को प्रमाणित किया जाना चाहिए और प्रमेयों, स्वयंसिद्धों या गुणों के साथ तर्क किया।

इस प्रकार, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "त्रिभुज ABC की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें?", त्रिभुज की किसी एक भुजा को जानना पर्याप्त है।

चलिए एक उदाहरण देते हैं

तस्वीर को जरा देखिए। यह मध्य रेखा DE के साथ त्रिभुज ABC दर्शाता है। ध्यान दें कि यह त्रिभुज में आधार AC के समानांतर है। इसलिए, AC का मान जो भी हो, औसत रेखा DE आधी बड़ी होगी। उदाहरण के लिए, AC=20 का अर्थ DE=10, आदि है।

इन आसान तरीकों से आप समझ सकते हैं कि त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे निकाली जाती है। इसके मूल गुणों और परिभाषा को याद रखें, और फिर आपको इसका अर्थ खोजने में कभी समस्या नहीं होगी।

\[(\बड़ा(\पाठ(त्रिभुजों की समानता)))\]

परिभाषाएं

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समरूप भुजाओं के समानुपाती हों
(यदि भुजाएँ समान कोणों के विपरीत स्थित हों तो उन्हें समरूप कहा जाता है)।

(समान) त्रिभुजों की समानता का गुणांक इन त्रिभुजों की समान भुजाओं के अनुपात के बराबर एक संख्या है।

परिभाषा

किसी त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है।

प्रमेय

दो समरूप त्रिभुजों की परिमापों का अनुपात समरूपता गुणांक के बराबर होता है।

सबूत

क्रमशः \(a,b,c\) और \(a_1, b_1, c_1\) भुजाओं वाले त्रिभुजों \(ABC\) और \(A_1B_1C_1\) पर विचार करें (ऊपर चित्र देखें)।

तब \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

प्रमेय

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।

सबूत

मान लीजिए कि त्रिभुज \(ABC\) और \(A_1B_1C_1\) समरूप हैं, और \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). आइए इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को क्रमशः \(S\) और \(S_1\) अक्षरों से निरूपित करें।

चूँकि \(\कोण A = \कोण A_1\) , तो \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(समान कोणों वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर प्रमेय के अनुसार)।

क्योंकि \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), वह \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

\[(\बड़ा(\पाठ(त्रिभुजों की समानता के चिह्न)))\]

प्रमेय (त्रिकोणों की समानता का पहला संकेत)

यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

सबूत

मान लीजिए \(ABC\) और \(A_1B_1C_1\) इस प्रकार त्रिभुज हैं कि \(\कोण A = \कोण A_1\) , \(\कोण B = \कोण B_1\) । फिर, त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय द्वारा \(\कोण C = 180^\circ - \कोण A - \कोण B = 180^\circ - \कोण A_1 - \कोण B_1 = \कोण C_1\), अर्थात्, त्रिभुज \(ABC\) के कोण क्रमशः त्रिभुज \(A_1B_1C_1\) के कोणों के बराबर हैं।

चूँकि \(\कोण A = \कोण A_1\) और \(\कोण B = \कोण B_1\) , तो \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)और \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

इन समानताओं से यह निष्कर्ष निकलता है \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

इसी प्रकार यह भी सिद्ध हो गया है \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(समानताओं का उपयोग करते हुए \(\कोण B = \कोण B_1\) , \(\कोण C = \कोण C_1\) ).

परिणामस्वरूप, त्रिभुज \(ABC\) की भुजाएँ त्रिभुज \(A_1B_1C_1\) की समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

प्रमेय (त्रिकोणों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)

यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

सबूत

ऐसे दो त्रिभुजों \(ABC\) और \(A"B"C"\) पर विचार करें \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\कोण BAC = \कोण A"\) आइए सिद्ध करें कि त्रिभुज \(ABC\) और \(A"B"C"\) समरूप हैं। त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न को ध्यान में रखते हुए, यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि \(\कोण B = \कोण B"\) ।

\(\कोण 1 = \कोण A"\) , \(\कोण 2 = \कोण B"\) वाले एक त्रिभुज \(ABC""\) पर विचार करें। त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार त्रिभुज \(ABC""\) और \(A"B"C"\) समरूप हैं, तो \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

दूसरी ओर, शर्त से \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). अंतिम दो समानताओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि \(AC = AC""\) ।

त्रिभुज \(ABC\) और \(ABC""\) की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर है, इसलिए, \(\कोण बी = \कोण 2 = \कोण बी"\).

प्रमेय (त्रिकोणों की समानता का तीसरा चिह्न)

यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

सबूत

माना त्रिभुजों \(ABC\) और \(A"B"C"\) की भुजाएँ आनुपातिक हैं: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज \(ABC\) और \(A"B"C"\) समरूप हैं।

ऐसा करने के लिए, त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे मानदंड को ध्यान में रखते हुए, यह साबित करना पर्याप्त है कि \(\कोण BAC = \कोण A"\) ।

\(\कोण 1 = \कोण A"\) , \(\कोण 2 = \कोण B"\) वाले एक त्रिभुज \(ABC""\) पर विचार करें।

त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार त्रिभुज \(ABC""\) और \(A"B"C"\) समान हैं, इसलिए, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

समानताओं और स्थितियों की अंतिम श्रृंखला से \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)यह इस प्रकार है कि \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) ।

त्रिभुज \(ABC\) और \(ABC""\) तीन भुजाओं पर बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण बीएसी = \कोण 1 = \कोण ए"\).

\[(\बड़ा(\पाठ(थेल्स प्रमेय)))\]

प्रमेय

यदि आप किसी कोण के एक तरफ समान खंडों को चिह्नित करते हैं और उनके सिरों से समानांतर सीधी रेखाएं खींचते हैं, तो ये सीधी रेखाएं दूसरी तरफ भी समान खंडों को काट देंगी।

सबूत

आइए पहले साबित करें लेम्मा:यदि \(\त्रिकोण OBB_1\) में भुजा \(OB\) के मध्य \(A\) से होकर एक सीधी रेखा \(a\समानांतर BB_1\) खींची जाती है, तो यह भुजा \(OB_1\) को भी प्रतिच्छेद करेगी मध्य।

बिंदु \(B_1\) से होकर हम \(l\समानांतर OB\) खींचते हैं। चलो \(l\cap a=K\) । तब \(ABB_1K\) एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए \(B_1K=AB=OA\) और \(\कोण A_1KB_1=\कोण ABB_1=\कोण OAA_1\); \(\कोण AA_1O=\कोण KA_1B_1\)ऊर्ध्वाधर की तरह. तो, दूसरे संकेत के अनुसार \(\त्रिकोण OAA_1=\त्रिकोण B_1KA_1 \दायां तीर OA_1=A_1B_1\). लेम्मा सिद्ध है.

आइए प्रमेय के प्रमाण की ओर आगे बढ़ें। मान लीजिए \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) और हमें यह साबित करने की जरूरत है कि \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) ।

इस प्रकार, इस प्रमेयिका \(OA_1=A_1B_1\) के अनुसार। आइए साबित करें कि \(A_1B_1=B_1C_1\) । आइए बिंदु \(B_1\) से होकर एक रेखा \(d\parallel OC\) खींचें, और मान लें कि \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) । तब \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) समांतर चतुर्भुज हैं, इसलिए, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) । इस प्रकार, \(\कोण A_1B_1D_1=\कोण C_1B_1D_2\)ऊर्ध्वाधर की तरह \(\कोण A_1D_1B_1=\कोण C_1D_2B_1\)क्रॉस की तरह झूठ बोलना, और इसलिए, दूसरे संकेत के अनुसार \(\त्रिकोण A_1B_1D_1=\त्रिकोण C_1B_1D_2 \दायां तीर A_1B_1=B_1C_1\).

थेल्स का प्रमेय

समानांतर रेखाएं किसी कोण के किनारों पर आनुपातिक खंडों को काटती हैं।

सबूत

चलो समानांतर रेखाएँ \(p\समानांतर q\समानांतर r\समानांतर s\)एक पंक्ति को खंडों \(a, b, c, d\) में विभाजित किया। फिर दूसरी सीधी रेखा को क्रमशः खंडों \(ka, kb, kc, kd\) में विभाजित किया जाना चाहिए, जहां \(k\) एक निश्चित संख्या है, खंडों का समान आनुपातिक गुणांक है।

आइए बिंदु \(A_1\) से होकर एक रेखा \(p\parallel OD\) खींचें (\(ABB_2A_1\) एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए, \(AB=A_1B_2\) ). तब \(\त्रिकोण OAA_1 \सिम \त्रिकोण A_1B_1B_2\)दो कोनों पर. इस तरह, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \राइटएरो A_1B_1=kb\).

इसी प्रकार, हम \(B_1\) से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं \(q\समानांतर OD \दायां तीर \त्रिकोण OBB_1\sim \त्रिकोण B_1C_1C_2 \दायां तीर B_1C_1=kc\)वगैरह।

\[(\बड़ा(\पाठ(त्रिभुज की मध्य रेखा)))\]

परिभाषा

त्रिभुज की मध्य रेखा त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

प्रमेय

त्रिभुज की मध्य रेखा तीसरी भुजा के समानांतर और उसके आधे भाग के बराबर होती है।

सबूत

1) मध्य रेखा से आधार की समानता ऊपर सिद्ध की गई बातों के अनुरूप है लेम्मास.

2) आइए हम साबित करें कि \(MN=\dfrac12 AC\) ।

बिंदु \(N\) से होकर हम \(AB\) के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। मान लीजिए कि यह रेखा भुजा \(AC\) को बिंदु \(K\) पर काटती है। तब \(AMNK\) एक समांतर चतुर्भुज है ( \(AM\समानांतर NK, MN\समानांतर AK\)पिछले बिंदु के अनुसार)। तो, \(MN=AK\) ।

क्योंकि \(NK\parallel AB\) और \(N\) \(BC\) का मध्यबिंदु है, तो थेल्स प्रमेय के अनुसार \(K\) \(AC\) का मध्यबिंदु है। इसलिए, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) ।

परिणाम

त्रिभुज की मध्य रेखा दिए गए त्रिभुज के समान गुणांक \(\frac12\) से काटती है।

वह चतुर्भुज जिसमें केवल दो भुजाएँ समानान्तर हों, कहलाता है चतुर्भुज.

किसी समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ इसकी कहलाती हैं कारण, और वे भुजाएँ जो समानांतर नहीं हैं, कहलाती हैं दोनों पक्ष. यदि भुजाएँ समान हों, तो ऐसा समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु होता है। आधारों के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहा जाता है।

मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज

मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा इसके आधारों के समानांतर होती है।

प्रमेय:

यदि एक तरफ के मध्य को पार करने वाली सीधी रेखा ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर है, तो यह ट्रेपेज़ॉइड के दूसरे पक्ष को समद्विभाजित करती है।

प्रमेय:

मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है

एमएन मध्य रेखा, एबी और सीडी - आधार, एडी और बीसी - पार्श्व पक्ष

एमएन = (एबी + डीसी)/2

प्रमेय:

किसी समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।

मुख्य कार्य: सिद्ध करें कि एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा एक खंड को समद्विभाजित करती है जिसके सिरे समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य में स्थित होते हैं।

त्रिभुज की मध्य रेखा

किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड त्रिभुज की मध्य रेखा कहलाता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी लंबाई के बराबर है।
प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा त्रिभुज की दूसरी भुजा के समानांतर हो, तो वह तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

एएम = एमसी और बीएन = एनसी =>

एक त्रिभुज और समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा गुणों को लागू करना

किसी खंड को निश्चित संख्या में बराबर भागों में बाँटना।
कार्य: खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।
समाधान:
मान लीजिए p एक यादृच्छिक किरण है जिसका मूल बिंदु A है और जो रेखा AB पर स्थित नहीं है। हम क्रमिक रूप से पी एए 1 = ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3 = ए 3 ए 4 = ए 4 ​​ए 5 पर 5 समान खंड अलग रखते हैं।
हम A 5 को B से जोड़ते हैं और A 4, A 3, A 2 और A 1 से होकर ऐसी रेखाएँ खींचते हैं जो A 5 B के समानांतर हैं। वे AB को क्रमशः बिंदु B 4, B 3, B 2 और B 1 पर काटते हैं। ये बिंदु खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। वास्तव में, समलंब BB 3 A 3 A 5 से हम देखते हैं कि BB 4 = B 4 B 3. इसी प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज B 4 B 2 A 2 A 4 से हमें B 4 B 3 = B 3 B 2 प्राप्त होता है।

जबकि समलंब से B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
फिर बी 2 एए 2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि बी 2 बी 1 = बी 1 ए। निष्कर्ष में हम पाते हैं:
एबी 1 = बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3 = बी 3 बी 4 = बी 4 बी
यह स्पष्ट है कि खंड AB को अन्य समान भागों में विभाजित करने के लिए, हमें समान संख्या में समान खंडों को किरण p पर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता है। और फिर ऊपर वर्णित तरीके से जारी रखें।