Kako najti črto v trikotniku. Kako najti srednjo črto trikotnika? Osnovne lastnosti, definicije in metode

1 Dodatna konstrukcija, ki vodi do izreka o središčnici trikotnika, lastnosti trapeza in podobnosti trikotnikov.

In ona enaka polovici hipotenuze.
Posledica 1.
Posledica 2.

Iz tega je razvidno, da

1 Vsi pravokotni trikotniki z enakim ostrim kotom so si podobni. Pogled na trigonometrične funkcije.

Trikotniki s šrafiranimi in nešrafiranimi stranicami so si podobni v tem, da sta si kota enaka. Torej kje

To pomeni, da so navedene relacije odvisne le od ostrega kota pravokotnega trikotnika in ga v bistvu določajo. To je eden od razlogov za pojav trigonometričnih funkcij:

Pogosto je pisanje trigonometričnih funkcij kotov v podobnih pravokotnih trikotnikih bolj jasno kot pisanje podobnostnih relacij!

Spustimo višino CH na hipotenuzo AB. Imamo tri podobne trikotnike ABC, AHC in CHB. Zapišimo izraze za trigonometrične funkcije:

Iz tega je razvidno, da . Če seštejemo, dobimo Pitagorov izrek, saj:

Za drug dokaz Pitagorovega izreka glej komentar k 4. nalogi.
3 Pomemben primer dodatne konstrukcije je konstrukcija kota, ki je enak enemu od kotov trikotnika.

Iz oglišča pravega kota narišemo odsek premice, ki tvori kot s krakom CA, ki je enak kotu CAB danega pravokotnega trikotnika ABC. Kot rezultat dobimo enakokraki trikotnik ACM z osnovnimi koti. Toda drugi trikotnik, ki izhaja iz te konstrukcije, bo tudi enakokrak, saj je vsak njegov kot na dnu enak (zaradi lastnosti kotov pravokotnega trikotnika in konstrukcije - kot je bil "odštet" od pravega kota). Ker sta trikotnika BMC in AMC enakokraka s skupno stranico MC, velja enakost MB=MA=MC, tj. M.C. mediana, potegnjena na hipotenuzo pravokotnega trikotnika, in ona enaka polovici hipotenuze.
Posledica 1. Središče hipotenuze je središče kroga, ki je obkrožen okoli tega trikotnika, saj se izkaže, da je središče hipotenuze enako oddaljeno od oglišč pravokotnega trikotnika.
Posledica 2. Srednja črta pravokotnega trikotnika, ki povezuje sredino hipotenuze in sredino kraka, je vzporedna z nasprotnim krakom in je enaka njegovi polovici.

V enakokrakih trikotnikih BMC in AMC spustimo višini MH in MG na osnovki. Ker je v enakokrakem trikotniku višina, spuščena na osnovo, tudi mediana (in simetrala), potem sta MH in MG črti pravokotnega trikotnika, ki povezuje sredino hipotenuze z razpolovišči nog. Po konstrukciji se izkaže, da so vzporedni z nasprotnimi kraki in enaki njihovim polovicam, saj sta trikotnika enaka MHC in MGC sta enaka (in MHCG je pravokotnik). Ta rezultat je osnova za dokaz izreka o srednji črti poljubnega trikotnika in nadalje srednji črti trapeza ter lastnosti sorazmernosti segmentov, ki jih odsekajo vzporedne črte na dveh ravnih črtah, ki ju sekata.

Naloge
Uporaba lastnosti podobnosti -1
Uporaba osnovnih lastnosti - 2
Uporaba dodatne formacije 3-4

1 2 3 4

Višina, spuščena z vrha pravega kota pravokotnega trikotnika, je enaka kvadratnemu korenu iz dolžin segmentov, na katere deli hipotenuzo.

Rešitev se zdi očitna, če poznate izpeljavo Pitagorovega izreka iz podobnosti trikotnikov:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
od koder \(h^2=c_1c_2\).

Poiščite geometrijsko mesto (GMT) presečišča median vseh možnih pravokotnih trikotnikov, katerih hipotenuza AB je fiksna.

Točka presečišča median katerega koli trikotnika odseka eno tretjino mediane, šteto od točke njegovega presečišča z ustrezno stranjo. V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz pravega kota, enaka polovici hipotenuze. Zato je želeni GMT krog s polmerom, ki je enak 1/6 dolžine hipotenuze, s središčem na sredini te (fiksne) hipotenuze.

Srednja črta trikotnika. Pozdravljeni prijatelji! Danes obstaja teoretično gradivo, povezano je s trikotnikom. Izpit vsebuje skupino nalog, ki uporabljajo lastnost njegove srednje črte. Pa ne samo pri težavah s trikotniki, ampak tudi s trapezi. V enem sem predlagal, da si preprosto zapomnimo ta dejstva, zdaj bolj podrobno ...

Kaj je srednja črta trikotnika in kakšne so njene lastnosti?

Opredelitev. Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje središča stranic trikotnika.

Jasno je, da so v trikotniku tri srednje črte. Pokažimo jim:

Brez kakršnega koli dokaza ste verjetno že opazili, da so vsi štirje oblikovani trikotniki enaki. To je res, vendar bomo o tem podrobneje govorili kasneje.

Izrek. Srednja črta trikotnika, ki povezuje razpolovišči dveh danih stranic, je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.

Dokaz:

1. Oglejmo si trikotnika BMN in BAC. Glede na pogoj imamo BM=MA, BN=NC. Lahko zapišemo:

Zato sta si trikotnika podobna po dveh sorazmernih stranicah in kotu med njima (drugi znak podobnosti). Kaj iz tega sledi? Toda dejstvo, da:

Na podlagi vzporednosti premic MN||AC.

2. Tudi iz podobnosti trikotnikov sledi, da

To pomeni, da je MN dvakrat manjši. Dokazano!

Rešimo tipično težavo.

V trikotniku ABC so točke M, N, K razpolovišča stranic AB, BC, AC. Poišči obseg trikotnika ABC, če je MN=12, MK=10, KN=8.

rešitev. Seveda je treba najprej preveriti obstoj trikotnika MNK (in torej obstoj trikotnika ABC). Vsota obeh manjših stranic mora biti večja od tretje stranice, zapišite 10+8>12. Bo izpolnjeno, torej trikotnik obstaja.

Naredimo skico:

Tako je obseg trikotnika ABC 24+20+16=60.

*Sedaj več podrobnosti o trikotnikih, ki jih dobimo s konstrukcijo vseh treh srednjih črt. Njuno enakost je enostavno dokazati. poglej:

Na treh straneh so enaki. Seveda tudi tu veljajo druga znamenja. To razumemo

Kako se ta lastnost uporablja pri nalogah, vključenih v izpit? Posebej bi se rad osredotočil na probleme v stereometriji. Obstajajo vrste, pri katerih govorimo o trikotni prizmi.

Rečeno je na primer, da ravnina poteka skozi središča stranic baze in je vzporedna s tretjim robom baze. Postavljajo se vprašanja o spremembah površine prizme, njene prostornine in drugih.

Torej, tukaj je. Če poznate in razumete zgoraj predstavljene informacije, boste takoj ugotovili, da ta ravnina odseka eno četrtino od baze določene prizme in ustno rešite problem. S takimi nalogami.

To je vse! Vse najboljše!

Prenesite material za članek

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Včasih teme, ki se razlagajo v šoli, morda niso vedno jasne prvič. To še posebej velja za predmet, kot je matematika. Toda vse postane veliko bolj zapleteno, ko se ta veda začne deliti na dva dela: algebro in geometrijo.

Vsak učenec ima lahko sposobnosti na enem od dveh področij, vendar je zlasti v osnovnih razredih pomembno razumeti osnove tako algebre kot geometrije. V geometriji se ena glavnih tem šteje za razdelek o trikotnikih.

Kako najti srednjo črto trikotnika? Ugotovimo.

Osnovni pojmi

Za začetek, da bi ugotovili, kako najti srednjo črto trikotnika, je pomembno razumeti, kaj je.

Pri risanju srednje črte ni nobenih omejitev: trikotnik je lahko karkoli (enakokraki, enakostranični, pravokotni). In vse lastnosti, ki se nanašajo na srednjo črto, bodo veljavne.

Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje središči njegovih dveh strani. Zato ima lahko vsak trikotnik 3 take premice.

Lastnosti

Če želite vedeti, kako najti srednjo črto trikotnika, označimo njegove lastnosti, ki jih je treba zapomniti, sicer brez njih ne bo mogoče rešiti težav s potrebo po določitvi dolžine srednje črte, saj morajo biti vsi pridobljeni podatki utemeljeni in argumentirali s teoremi, aksiomi ali lastnostmi.

Za odgovor na vprašanje: "Kako najti srednjo črto trikotnika ABC?" je dovolj, da poznate eno od strani trikotnika.

Dajmo primer

Oglejte si sliko. Prikazuje trikotnik ABC s srednjo črto DE. Upoštevajte, da je vzporedna z osnovo AC v trikotniku. Zato bo ne glede na vrednost AC povprečna premica DE pol manjša. Na primer, AC=20 pomeni DE=10 itd.

Na te preproste načine lahko razumete, kako najti srednjo črto trikotnika. Zapomnite si njegove osnovne lastnosti in definicijo in potem nikoli ne boste imeli težav pri iskanju njegovega pomena.

\[(\Large(\text(Podobnost trikotnikov)))\]

Definicije

Dva trikotnika imenujemo podobna, če sta njuna kota enaka in so stranice enega trikotnika sorazmerne s podobnimi stranicami drugega
(stranice imenujemo podobne, če ležijo nasproti enakih kotov).

Koeficient podobnosti (podobnih) trikotnikov je število, ki je enako razmerju podobnih stranic teh trikotnikov.

Opredelitev

Obseg trikotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic.

Izrek

Razmerje obsegov dveh podobnih trikotnikov je enako koeficientu podobnosti.

Dokaz

Razmislite o trikotnikih \(ABC\) in \(A_1B_1C_1\) s stranicami \(a,b,c\) oziroma \(a_1, b_1, c_1\) (glejte zgornjo sliko).

Potem \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Izrek

Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

Dokaz

Naj sta si trikotnika \(ABC\) in \(A_1B_1C_1\) podobna in \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). S črkama \(S\) in \(S_1\) označimo ploščini teh trikotnikov.

Ker je \(\kot A = \kot A_1\), potem \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(po izreku o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi koti).

Ker \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), To \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), kar je bilo treba dokazati.

\[(\Large(\text(Znaki podobnosti trikotnikov)))\]

Izrek (prvi znak podobnosti trikotnikov)

Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si takšna trikotnika podobna.

Dokaz

Naj sta \(ABC\) in \(A_1B_1C_1\) trikotnika, tako da \(\kot A = \kot A_1\) , \(\kot B = \kot B_1\) . Nato po izreku o vsoti kotov trikotnika \(\kot C = 180^\krog - \kot A - \kot B = 180^\krog - \kot A_1 - \kot B_1 = \kot C_1\), kar pomeni, da so koti trikotnika \(ABC\) enaki kotom trikotnika \(A_1B_1C_1\) .

Ker je \(\kot A = \kot A_1\) in \(\kot B = \kot B_1\), potem \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) in \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Iz teh enakosti sledi, da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Podobno je dokazano, da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(z uporabo enakosti \(\kot B = \kot B_1\) , \(\kot C = \kot C_1\) ).

Posledično so stranice trikotnika \(ABC\) sorazmerne s podobnimi stranicami trikotnika \(A_1B_1C_1\), kar je bilo treba dokazati.

Izrek (drugi kriterij za podobnost trikotnikov)

Če sta dve stranici enega trikotnika sorazmerni z dvema stranicama drugega trikotnika in sta kota med njima enaka, potem sta trikotnika podobna.

Dokaz

Razmislite o dveh trikotnikih \(ABC\) in \(A"B"C"\), tako da \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\kotnik BAC = \kotnik A"\) Dokažimo, da sta si trikotnika \(ABC\) in \(A"B"C"\) podobna. Ob upoštevanju prvega znaka podobnosti trikotnikov je dovolj pokazati, da \(\kot B = \kot B"\) .

Razmislite o trikotniku \(ABC""\) z \(\kotom 1 = \kotom A"\) , \(\kotom 2 = \kotom B"\) . Trikotnika \(ABC""\) in \(A"B"C"\) sta si podobna po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov, torej \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Po drugi strani pa po pogoju \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Iz zadnjih dveh enakosti sledi \(AC = AC""\) .

Trikotnika \(ABC\) in \(ABC""\) sta po obeh stranicah in kotu med njima enaka, torej \(\kot B = \kot 2 = \kot B"\).

Izrek (tretji znak podobnosti trikotnikov)

Če so tri stranice enega trikotnika sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika, potem sta si trikotnika podobna.

Dokaz

Naj bosta stranici trikotnika \(ABC\) in \(A"B"C"\) sorazmerni: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Dokažimo, da sta si trikotnika \(ABC\) in \(A"B"C"\) podobna.

Za to je ob upoštevanju drugega kriterija za podobnost trikotnikov dovolj dokazati, da \(\kot BAC = \kot A"\) .

Razmislite o trikotniku \(ABC""\) z \(\kotom 1 = \kotom A"\) , \(\kotom 2 = \kotom B"\) .

Trikotnika \(ABC""\) in \(A"B"C"\) sta si podobna po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov, torej \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Iz zadnje verige enakosti in pogojev \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) iz tega sledi \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Trikotnika \(ABC\) in \(ABC""\) sta na treh stranicah enaka, torej \(\kot BAC = \kot 1 = \kot A"\).

\[(\Large(\text(Thalesov izrek)))\]

Izrek

Če na eni strani kota označite enake segmente in skozi njihove konce narišete vzporedne ravne črte, bodo te ravne črte odrezale enake segmente tudi na drugi strani.

Dokaz

Najprej dokažimo lema:Če je v \(\trikotniku OBB_1\) ravna črta \(a\vzporednik BB_1\) narisana skozi sredino \(A\) stranice \(OB\), potem bo tudi sekala stranico \(OB_1\) v sredina.

Skozi točko \(B_1\) narišemo \(l\vzporednik OB\) . Naj \(l\cap a=K\) . Potem je \(ABB_1K\) paralelogram, torej \(B_1K=AB=OA\) in \(\kot A_1KB_1=\kot ABB_1=\kot OAA_1\); \(\kot AA_1O=\kot KA_1B_1\) kot navpično. Torej, glede na drugi znak \(\trikotnik OAA_1=\trikotnik B_1KA_1 \desna puščica OA_1=A_1B_1\). Lema je dokazana.

Preidimo k dokazu izreka. Naj \(OA=AB=BC\) , \(a\vzporednik b\vzporednik c\) in dokazati moramo, da \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Torej, glede na to lemo \(OA_1=A_1B_1\) . Dokažimo, da \(A_1B_1=B_1C_1\) . Narišimo premico \(d\vzporednik OC\) skozi točko \(B_1\) in pustimo \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Potem sta \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelograma, torej \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . torej \(\kot A_1B_1D_1=\kot C_1B_1D_2\) kot navpično \(\kot A_1D_1B_1=\kot C_1D_2B_1\) ki ležijo kot križi, in torej po drugem znamenju \(\trikotnik A_1B_1D_1=\trikotnik C_1B_1D_2 \Desna puščica A_1B_1=B_1C_1\).

Thalesov izrek

Vzporedne črte odrežejo sorazmerne odseke na straneh kota.

Dokaz

Pustite vzporedne črte \(p\vzporedno q\vzporedno r\vzporedno s\) razdelil eno od črt na segmente \(a, b, c, d\) . Nato je treba drugo ravno črto razdeliti na segmente \(ka, kb, kc, kd\), kjer je \(k\) določeno število, enak koeficient sorazmernosti segmentov.

Narišimo skozi točko \(A_1\) premico \(p\vzporednik OD\) (\(ABB_2A_1\) je paralelogram, torej \(AB=A_1B_2\) ). Potem \(\trikotnik OAA_1 \sim \trikotnik A_1B_1B_2\) na dveh kotih. torej \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \desna puščica A_1B_1=kb\).

Podobno narišemo ravno črto skozi \(B_1\) \(q\vzporedna OD \desna puščica \trikotnik OBB_1\sim \trikotnik B_1C_1C_2 \desna puščica B_1C_1=kc\) itd.

\[(\Large(\text(Srednja črta trikotnika)))\]

Opredelitev

Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje razpoloviščni točki poljubnih dveh strani trikotnika.

Izrek

Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.

Dokaz

1) Vzporednost srednje črte z osnovo izhaja iz zgoraj dokazanega leme.

2) Dokažimo, da \(MN=\dfrac12 AC\) .

Skozi točko \(N\) narišemo premico, vzporedno z \(AB\). Naj ta premica seka stranico \(AC\) v točki \(K\). Potem je \(AMNK\) paralelogram ( \(AM\vzporedno NK, MN\vzporedno AK\) glede na prejšnjo točko). Torej \(MN=AK\) .

Ker \(NK\vzporednik AB\) in \(N\) sta razpolovišče \(BC\), potem je po Thalesovem izreku \(K\) razpolovišče \(AC\) . Zato \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Posledica

Srednja črta trikotnika odseka od njega trikotnik, podoben danemu, s koeficientom \(\frac12\) .

Štirikotnik, pri katerem sta samo dve stranici vzporedni, se imenuje trapez.

Vzporedne stranice trapeza imenujemo njegove razlogov, tiste stranice, ki niso vzporedne, pa imenujemo straneh. Če sta stranici enaki, je takšen trapez enakokrak. Razdalja med osnovama se imenuje višina trapeza.

Trapez srednje črte

Srednja črta je segment, ki povezuje sredine stranic trapeza. Srednja črta trapeza je vzporedna z njegovimi osnovami.

Izrek:

Če je premica, ki prečka sredino ene stranice, vzporedna z osnovami trapeza, potem razpolavlja drugo stran trapeza.

Izrek:

Dolžina srednjice je enaka aritmetični sredini dolžin njenih osnov

MN srednja črta, AB in CD - osnove, AD in BC - stranske stranice

MN = (AB + DC)/2

Izrek:

Dolžina srednje črte trapeza je enaka aritmetični sredini dolžin njegovih osnov.

Glavna naloga: Dokaži, da srednjica trapeza razpolavlja odsek, katerega konca ležita na sredini osnov trapeza.

Srednja črta trikotnika

Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki obeh stranic trikotnika, se imenuje srednja črta trikotnika. Vzporedna je s tretjo stranico in njena dolžina je enaka polovici dolžine tretje stranice.
Izrek: Če je premica, ki seka razpolovišče ene stranice trikotnika, vzporedna z drugo stranjo trikotnika, potem razpolovi tretjo stran.

AM = MC in BN = NC =>

Uporaba lastnosti srednje črte trikotnika in trapeza

Delitev segmenta na določeno število enakih delov.
Naloga: Odsek AB razdeli na 5 enakih delov.
rešitev:
Naj bo p naključni žarek z izhodiščem v točki A in ne leži na premici AB. Zaporedoma odložimo 5 enakih segmentov na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Povežemo A 5 z B in skozi A 4, A 3, A 2 in A 1 narišemo takšne premice, ki so vzporedne z A 5 B. Sekajo AB v točkah B 4, B 3, B 2 in B 1. Te točke delijo odsek AB na 5 enakih delov. Dejansko iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo, da je BB 4 = B 4 B 3. Na enak način dobimo iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Medtem ko je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Potem iz B 2 AA 2 sledi B 2 B 1 = B 1 A. Na koncu dobimo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je, da moramo za razdelitev odseka AB na drugo število enakih delov projicirati enako število enakih odsekov na žarek p. In nato nadaljujte na zgoraj opisan način.